配子一定比例致死的人类遗传病计算问题

半年没更博，文化课战士回来报道。

前言

老师同学们好！

本人高中生，有关生物的见识仅局限高中范围，本文有关专有用语可能不够准确。

本文旨在分享我对此前期考复习前的一道题目的思考。

题目内容如下：

右图是甲、乙两种单基因遗传病的家系图，家系中无突变发生且其中一种病为伴X遗传。已知正常人群中乙病携带者占1/6，且含乙病基因的雄配子半数致死。6号个体与人群中正常男性结婚，生育一个两病兼患男孩的概率是( )。 A. 1/184 B. 1/192 C. 1/368 D. 1/384 {% image https://s2.loli.net/2023/01/29/bXp5OMztm7v1n3B.png 题图 width:400px padding:20px bg:hex

这道题的最初来源我没有能够找到，只在[1]中有所发现。

问题分析

甲病有关基因用 $X^A$ 与 $X^a$ 表示，乙病有关基因用 $B$ 与 $b$ 表示。对于甲病的结果我不存在质疑，很容易得出该夫妇生出一个患甲病男孩的概率

P_1=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{16}

接下来仅需计算该夫妇所生育的孩子中患乙病的概率 $P_2$ ，通过自由组合定律即可得出该题的答案

P=P_1\times P_2

问题的焦点在于如何计算 $P_2$ 。

计算机模拟结果

将原问题抽离成为与现实相符的一个模型。假设现有一个大小为 $N$ 的男性正常群体。

我将男性每一个个体从 $1$ 至 $N$ 编号记为 $a_i=i$ 。为了满足题目条件，另 $\forall a_i\equiv 1 \pmod{6}$ 的男性个体为乙病的携带者。

然后随机生成一个数 $x\in [1,N]$ 表示个体6与编号为 $x$ 的男性个体交配。

如果 $x\equiv 1 \pmod{6}$ 则表示个体6与一男性乙病的携带者交配。考虑该男性的配子。若不考虑致死该男性配子 $B$ 与 $b$ 应为 $1:1$ 。现 $b$ 半数致死，则该男性配子比例应为 $2:1$ 。因而再生成一个随机数 $y\in[1,3]$ ，如果所得随机数为 $1$ 则此次模拟该男性产生的配子为 $b$ ，其余情况则为 $B$ 。

如果 $x$ 不满足 $x\equiv 1 \pmod{6}$ 。则该男性产生的配子一定为 $B$ 。

将男性产生的配子与女性的配子组合即可得到后代的基因型。

将随机生成 $x$ 的步骤重复 $\Omega$ 次，记录下其中后代为 $bb$ 的次数 $T$ 即可得到

P_2=\frac{T}{\Omega}

计算机实现代码如下：

green,c++代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
using namespace std;

#define REP(i,e,s) for(register int i=e; i<=s; i++)
#define DREP(i,e,s) for(register int i=e; i>=s; i--)
#define ll long long
#define DE(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG(a) DE("DEBUG: %d\n",a)
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)

int read() {
	int x=0,f=1,ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}

const int MAXN=1000000+10;

const int N=1000000;

int a[MAXN];

int _rand(int l,int r) {
    return rand()%(r-l+1)+l;
}

int main() {
    freopen("data.out","w",stdout);
	srand(time(0));
    printf("%d\n",_rand(1,2));
    const int omega=1000000;
    int T=0;
    for(int i=1; i<=omega; i++) {
        int x=_rand(1,N);
        if(x%6==1) {
            int y=_rand(1,3);
            if(y==1) {T++;
            printf("x:%d y:%d T+1\n",x,y);
            }
            else printf("x:%d y:%d T+0\n",x,y);
        }
        else printf("x:%d\n",x);
    }

    printf("Ω:%d T:%d\n",omega,T);

	return 0;
}

green,python代码

import random


T=0
Omega=1000000
N=1000000

fp=open("./data.txt","w+")
for i in range(1,Omega):
    x=random.randint(1,N)
    if(x%6==1):
        y=random.randint(1,3)
        if(y==1): 
            T+=1
            print("x:",x," y:",y," T+1",file=fp)
        else:
            print("x:",x," y:",y," T+0",file=fp)
    else:
        print("x:",x,file=fp)

print("Ω:",Omega," T:",T,file=fp)

fp.close()

计算机模拟的结果如下：

单机此处下载 /data.txt

最终 $\Omega=1000000$ $T=55506$ 。

P_2=\frac{T}{\Omega}=\frac{55506}{1000000}=0.055506\approx\frac{1}{18}

参考答案的计算方式

我在这里简单描述一下参考答案的计算方式。

对于一个人群，其中有 $\frac{1}{6}$ 的正常男性，则可知男性中 $BB:Bb=5:1$ 。假设不考虑考虑男性配子致死的情况，则该人群中正常男性产生的配子比例 $B:b=11:1$ 。又由于有一半的 $b$ 致死，则比例为 $B:b=11:0.5=22:1$ 。则男性群体中产生 $b$ 配子的概率为 $P_2=\frac{1}{23}$ 。这样得出的答案

P=P_1\times P_2=\frac{1}{16}\times\frac{1}{23}=\frac{1}{368}

应选C。

然而，这样计算得来的 $P_2$ 与计算机模拟的结果不同。

我认为的计算方式

对于个体6，记她所遇到的男性个体为乙病携带者的事件为 $S$ ，所遇到不为乙病携带者的事件为 $T$ 。显然 $P(S)=\frac{1}{6}$ ， $P(T)=\frac{5}{6}$ 。

将正常男性群体产生的配子分为两类，一类为纯合子产生的配子 $B_1$ ，另一类为杂合子产生的配子 $B_2$ 与 $b_2$ 。

然后再考虑个体6所遇的配子的问题。记个体6的配子 $b$ 与 $b_2$ 相遇的事件为 $Y$ 。

显然

P_2=P(SY)=P(S)\times P(Y|S)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{18}

简单来说，就是个体6有 $\frac{1}{6}$ 的可能与一名携带乙病基因的男性交配，而与一名携带乙病基因的男性交配后代为乙病的概率为 $\frac{1}{3}$ ，因而个体6与人群中正常男性交配后代患乙病的概率 $P_2=\frac{1}{3}\times\frac{1}{6}$ 。

两种计算方式答案不同的分析

参考答案错误的可能原因

对于参考答案的计算方式，我们可以理解为，将人群中所有正常男性的配子放在一起，再从这些配子中随机选取一个。这样可以解释为什么分母为 $23$ 。

这样对于存在致死的男性的配子，他们的配子在整个男性人群中则会少去致死的那一部分，使存在致死男性的竞争力减弱。

简单来说，例如这里有 $12$ 名男性，其中 $10$ 人为 $BB$ ， $2$ 人为 $Bb$ 。假设每个人产生两个配子。一共会产生 $12\times2-1=23$ 个配子。则产生配子的比例为 $B_1:B_2:b_2=20:2:1$ 。如果直接从这 $23$ 个配子中计算比例，那么对于 $Bb$ 男性人群与个体6交配的概率为 $\frac{B_2+b_2}{B_1+B_2+b_2}=\frac{1+3}{23}<\frac{1}{6}$ 。这与事实是矛盾。