MicDZ's blog

一些基础的数学知识可以为我们提供非常好的思路,这里主要介绍的是\sum 求和符号。

定义

求和是数学中常见又基本的操作, 我们需要为它找一个记号。假设现在有一个数列{a1,a2,...,sn}\{ a_1,a_2,...,s_n\}我们需要有一种灵活又不复杂的记号, 来表示它们的和。

i=1nai\sum\limits^n_{i=1}a_i​

表示数列数列{a}\{a\}的和.

这是种记号非常类似for循环的前两个语句。(记号省略了第三个语句i++i++)

定律

就像所有运算符号一样,和式也有类似的规则:

kK(ak+bk)=kKak+kKbk\sum\limits_{k\in K}(a_k+b_k)=\sum\limits_{k\in K}a_k+\sum\limits_{k\in K}b_k

证明的方法是加法交换律。

kKcak=ckKak\sum\limits_{k\in K}ca_k=c\sum\limits_{k\in K}a_k

证明的方法是乘法分配律。

iAaijBjj=iAjBaijj\sum\limits_{i\in A}a_i\sum\limits_{j\in B}j_j=\sum\limits_{i\in A}\sum\limits_{j\in B}a_ij_j

证明的方法是加法结合律,交换也是满足的。

问题

Description:

Sn=i=0nxiS_n=\sum\limits^n_{i=0}x^i

利用扰动法解此题:

Sn+xn+1=x0+i=1n+1xi=x0+i=0nxi+1=x0+xi=0nxi=x0+xSn \begin{aligned} S_n+x^{n+1}&=x^0+\sum\limits^{n+1}_{i=1}x^i\\ &=x^0+\sum\limits^n_{i=0}x^{i+1}\\ &=x^0+x\sum\limits^n_{i=0}x^i\\ &=x^0+xS_n\\ \end{aligned}

解得

Sn=1xn+11x,x1=n+1,x=1 \begin{aligned} S_n&=\frac{1-x^{n+1}}{1-x},x\neq 1\\ &=n+1,x= 1 \end{aligned}

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