树状数组与逆序对

 OI
 

在NOIp来之前,赶快奶一口会出逆序对毒瘤数学题,RP++。

在前几年的NOIp的考试中,已经有很久没有出现过与逆序对有关的题目了。但是正因如此,逆序对在这次NOIp出现的几率就大大提高了。

核心思路

计算逆序对可以通过归并排序或桶排+数据结构优化的思路求解。

又因为归并排序的应用范围不广,因此我更倾向于学习桶排+数据结构优化的方法求逆序对。

下面给出一个样例:

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1 8 2 1 4 14 2

如果我们以桶排的思路依次存下每一个元素出现的数量,那么我们只需要求出在它之前的比他大的元素数量,最后求和即可。

因此我们可以对原竖列离散化成:

1
1 4 2 1 3 5 2

对于这个数列,例如我们在计算以第4个1为右端点的逆序对的时候,我们只需要统计从第1个到第3个数字中大于1的数的个数。

这样我们可以很自然的想到用树状数组维护,当然也可以用线段树。

完整代码

这里只有树状数组的代码。

解释见注释。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define MAXN 500000+10
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define REP(i,e,s) for(register int i=e; i<=s; i++)
#define ll long long
int read() {
int x=0,f=1,ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

int c[MAXN],temp[MAXN],n;

struct edge {
int id,num;
} a[MAXN];

bool cmp(edge q,edge w) {
if(q.num==w.num)
return q.id<w.id;
return q.num<w.num;
}//使用stable_sort可以达到同样效果。

void add(int x,int v) {
while(x<=n) {
c[x]+=v;
x+=lowbit(x);
}
}

int sum(int x) {
int ans=0;
while(x) {
ans+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return ans;
}

int main() {
n=read();
REP(i,1,n) {
a[i].num=read();
a[i].id=i;
}

sort(a+1,a+1+n,cmp);
//stable_sort(a+1,a+1+n,cmp);

REP(i,1,n)
temp[a[i].id]=i;//temp存离散化后的值

ll ans=0;
REP(i,1,n) {
add(temp[i],1);//将temp[i]加1
ans+=i-sum(temp[i]);//i为在这之前的数字总个数,sum(temp[i])表示就目前为止小于等于temp[i]的个数。
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}

小结

这是一种思路简单,代码实现简易的逆序对求法。唯一的不足就是常数可能会比较大。

复杂度为Θ(3×nlogn)\Theta(3\times n\log n)