证明f(x)=ax(a>1)f(x)=a^x(a>1)的单调性

以下均为a>1a>1 时的单调性证明,0<a<10<a<1时同理

错误的一般做法

x1<x2x_1<x_2

f(x1)f(x2)=ax1ax2=ax2(ax1x21)\begin{aligned} f(x_1)-f(x_2)&=a^{x_1}-a^{x_2}\\ &=a^{x_2}(a^{x1-x2}-1) \end{aligned}

因为x1x2<0x_1-x_2<0

所以ax1x2<1a^{x_1-x_2}<1f(x1)f(x2)<0f(x_1)-f(x_2)<0

这个证明的明显错误在于ax1x2<1a^{x_1-x_2}<1,利用所需证明的结论证明结论,属于循环证明。

不严谨的初等做法

由错误的一般做法我们可以得出,原命题等价于

x>1x>1时,满足

f(x)=ax>1f(x)=a^x>1

考虑xNx\in\mathbb{N^*}的情况。用数学归纳法证明。

  1. x=1x=1时,显然成立
  2. 假设x=kx=k时结论成立,即当n=kn=k时,ak>1a^k>1,则当x=k+1x=k+1时,ak+1=ak×a>1a^{k+1}=a^k\times a>1

由1、2,xN\forall x\in \mathbb{N^*},结论成立。

将其拓展到有理数的情况上

p,qNp,q\in\mathbb{N^*},且ppqq互质

aqp=aqp=apq>1a^{\frac{q}{p}}=\sqrt[p] {a^q}=\sqrt[p]{a}^q>1

无理数的情况初等数学无法解决,最靠谱的解法也只能从有理数逼近无理数。

因此这个做法也是不严谨的。

严谨的做法

考虑f(x)f(x)的反函数

f(x)=logaxf'(x)=\log_ax

函数与其反函数单调性相同(证明略)。

将该函数求导

g(x)=1xlnag(x)=\frac{1}{x\ln a}

g(x)>0g(x)>0,所得区间为f(x)f(x)单调递增区间,即a>1a>1时,f(x)f(x)单调递增


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