期望与微积分

以NOIp2018初赛第7题为例：

 7. 在一条长度为1 的线段上随机取两个点，则以这两个点为端点的线段的期望长度是（ ）。
A. 1 / 2
B. 1 / 3
C. 2 / 3
D. 3 / 5

首先您需要理解期望是什么。

假设您买彩票，不中奖概率为 $50$ %，得到1元的概率为 $30$ %，得到 $50$ %元的概率为 $15$ %，得到 $1000$ 元的概率为 $5$ %，那么记 买彩票获得的奖金 这个事件为 $A$ ，那么获得的奖金期望值记做 $E(A)$

那么 $E(A)=0*0.5+1*0.3+50*0.15+1000*0.05=57.8$ 如您见，就是每一种可能乘上对应的概率之和

我们可以来看这道题了。

这道题要用的一点微积分的思想。把这个线段平均分成 $n$ 段，然后枚举左右端点，算出所有可能的值，再求平均值即可！

可能广大初中生并不知道怎么算，我来写一下过程吧

下面先求总长度

$\sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^n \dfrac{\lvert i-j \rvert}{n}$ 考虑把第二层求和拆开

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{\lvert i-0 \rvert}{n}+\dfrac{\lvert i-1 \rvert}{n}+...+\dfrac{\lvert i-n \rvert}{n})$ 分母相同，分子写到一起去

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{\lvert i-0 \rvert+\lvert i-1\rvert+\lvert i-2 \rvert+...+|i-n|}{n})$ 陷入瓶颈

如果右边这一坨东西是个等差数列就好了，但事实上不是，but……我们可以找一点规律

我们以 $n=4$ 为例子吧

| $\frac{|i-j|}{4}$ | 0 | 1 | 2 | 3 |4|
| -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: | -----------: |
| 0 | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{4}{4}$ |
| 1 | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ |
| 2| $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ |
| 3| $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ | $\dfrac{1}{4}$ |
| 4 | $\dfrac{4}{4}$ | $\dfrac{3}{4}$ | $\dfrac{2}{4}$ | $\dfrac{1}{4}$ | $0$ |

规律十分明显，每一行都** 以 $0$ 为分界线拆成两个等差数列 **！于是我们可以愉快地往下面写了！

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{(0+i)*(i+1)+(0+n-i)*(n-i+1)}{2n})$ 然后愉快的化简！

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{i^2+i+n^2-ni+1-ni+i^2-i}{2n})$ 合并同类项

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{2i^2-2ni+n^2+1}{2n})$ 分离常数

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{2i^2}{2n}-\dfrac{2ni}{2n}+\dfrac{n^2+n}{2n})$

$=\sum_{i=0}^n (\dfrac{i^2}{n}-i+\dfrac{n+1}{2})$ 然后可以愉快的拆开 $\sum$ 了！

$=\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-(0+1+2...+n)+\dfrac{(n+1)(n+1)}{2}$

$=\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$ 陷入瓶颈

我们被卡住关键在于 $S_n=0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2$ 的计算（高中不必看这一段），那么我们不如来推一推公式吧？

怎么推公式？

玄学技巧-差分

把 $n\in[0,5]$ 的 $S_n$ 值列成一排

$0~~~~~~~~1~~~~~~~~5~~~~~~~~14~~~~~~~~30~~~~~~~~55$ $~~~~~~~~$ 然后差分

$~~~~1~~~~~~~~4~~~~~~~~9~~~~~~~~16~~~~~~~~25$ $~~~~~~~~~~~~~~~~$ 继续

$~~~~~~~~3~~~~~~~~5~~~~~~~~7~~~~~~~~9$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 继续

$~~~~~~~~~~~~2~~~~~~~~2~~~~~~~~2$ $~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$ 所有的数字竟然相等了！

这时候我们一共做了 $3$ 次差分操作，那么我们可以得知 $S_n$ 公式是一个 $3$ 次整式！

~~玄学吧~~

此时设 $S=ax^3+bx^2+cx+d$

$\begin{cases} a+b+c+d=1 \\ 8a+4b+2c+d=5 \\ 27a+9b+3c+d=14 \\ 64a+16b+4c+d=30\end{cases}$

然后解方程

$\begin{cases} 7a+3b+c=4 \\ 19a+5b+c=9 \\ 37a+7b+c=16 \end{cases}$

$\begin{cases} 12a+2b=5 \\ 18a+2b=7 \end{cases}$

$6a=2~~~~~~~\therefore a=\dfrac{1}{3}$

$\therefore b=\dfrac{1}{2},c=\dfrac{1}{6},d=0$

$\therefore S_n=\dfrac{1}{3}n^3+\dfrac{1}{2}n^2+\dfrac{1}{6}n$ 化简一下

$=\dfrac{1}{6}n(2n^2+3n+1)$ 十字相乘分解

$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

然后就可以愉快的往下面写了

$\dfrac{0^2+1^2+2^2+3^2...+n^2}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}{n}-\dfrac{(0+n)*(n+1)}{2}+\dfrac{(n+1)^2}{2}$

$=\dfrac{1}{6}(n+1)(2n+1)-\dfrac{n^2+n}{2}+\dfrac{n^2+2n+1}{2}$

$=\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6}+\dfrac{n+1}{2}$

$=\dfrac{2n^2+3n+1}{6}+\dfrac{3n+3}{6}$

$=\dfrac{2n^2+6n+4}{6}$

$=\dfrac{n^2+3n+2}{3}$

$=\dfrac{(n+1)(n+2)}{3}$

那么总长度算了出来，再除以情况数 $(n+1)^2$

$Ans=\dfrac{(n+1)(n+2)}{3(n+1)^2}$

$=\dfrac{n+2}{3n+3}$

$\lim_{\Delta x\to \infty}Ans=\dfrac{1}{3}$

至此，我们做出了这道题，答案选 $B$

By Imakf

https://www.luogu.org/blog/Imakf/noip-ti-gao-chu-sai-t7-xie-xi

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