JXOI2018

数学专题都好神仙啊

这道题神奇的有两个题面。

核心思路

我们把 [l,r][l, r] 内不是其它任何数的倍数的数称为关键数,那么 t(p)t(p) 显然等于该排列中最后一个关键点的位置。

numnum[l,r][l,r] 中关键点的个数,那么枚举最后一个关键点的位置,答案就很显然了

i=1ni×(i1)!×num×(nsni)×(ni)!\sum_{i=1}^ni\times(i-1)!\times num \times{n-s\choose n-i}\times(n-i)!

稍微解释一下, ii 后面位置是不能再放关键点的,因此有 (nsni)n-s\choose n-i 种选法。 ii 位置必须为关键点,因此有 numnum 种选法, ii 前与 ii 后随便选取,那么有 (i1)!×(ni)!(i-1)!\times(n-i)! 种选法。

完整代码

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>

using namespace std;
#define int ll
#define REP(i,e,s) for(register int i=e; i<=s; i++)
#define DREP(i,e,s) for(register int i=e; i>=s; i--)
#define ll long long
#define DE(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG(a) DE("DEBUG: %d\n",a)
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)

int read() {
int x=0,f=1,ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

const int MOD=1e9+7,MAXN=1e7+10;

int vis[MAXN],num,fac[MAXN],inv[MAXN];

int qpow(int a,int b) {
int ans=1;
while(b) {
if(b&1) ans=ans*a%MOD;
a=a*a%MOD;
b>>=1;
}
return ans;
}

int c(int n,int m) {
if(n<m) return 0;
return fac[n]*inv[m]%MOD*inv[n-m]%MOD;
}

signed main() {
int l=read(),r=read(),n=r-l+1;
REP(i,l,r) {
if(vis[i]) continue;
num++;
for(int j=i+i; j<=r; j+=i) vis[j]=1;
}

fac[0]=fac[1]=1;
REP(i,2,n) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;

inv[n]=qpow(fac[n],MOD-2);
DREP(i,n-1,0) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%MOD;

int ans=0;

REP(i,1,n) ans=(ans+i*fac[i-1]%MOD*num%MOD*c(n-num,n-i)%MOD*fac[n-i]%MOD)%MOD;
printf("%lld\n",ans);

return 0;
}
//常数过大,开O2过

 评论