HNOI2008

Tham题目的难度跨度真大。

核心思路

首先有一个很显然的dp,设dpi\mathrm{dp}_i为前ii个的最小花费

dpi=minj=0i1{dpj+(ij1+sumisumjL)2}\mathrm{dp}_i=\min_{j=0}^{i-1}\{\mathrm{dp}_j+(i-j-1+\mathrm{sum}_i-\mathrm{sum}_j-L)^2\}

斜率优化的套路就是把含iijj的分离开来,为了更加方便:

ai=sumi+i , bi=sumi+i+L+1a_i=\mathrm{sum}_i+i\ ,\ b_i=\mathrm{sum}_i+i+L+1\\

方程转化为:

dpi=minj=0i1[(aibj)2+dpj]dpi=(aibj)2+dpj\begin{aligned} \mathrm{dp}_i&=\min_{j=0}^{i-1}[(a_i-b_j)^2+\mathrm{dp}_j]\\ \mathrm{dp}_i&=(a_i-b_j)^2+\mathrm{dp}_j\\ \end{aligned}

2×aibj+dpiai2=dpj+bj22\times a_ib_j+\mathrm{dp}_i-a_i^2=\mathrm{dp}_j+b_j^2

再将这个式子看做一个一次函数,aia_i是已知的

k=2ai,x=bj,y=dpj+bj2k=2a_i,x=b_j,y=\mathrm{dp}_j+b_j^2

y=kx+dpiai2y=kx+\mathrm{dp_i}-a_i^2

dpi=ykx+ai2\mathrm{dp}_i=y-kx+a_i^2

任务是要找到dpi\mathrm{dp}_i的最小值

数形结合可以理解为,上述直线过点(bj,dpj+bj2)(b_j,\mathrm{dp}_j+b_j^2),直线在yy轴截距增加ai2a_i^2

最优解即在这些点的下凸包上。

用单调队列维护一下就可以求出下凸包。边求边统计答案。

## 完整代码

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;

#define int ll

#define REP(i,e,s) for(register int i=e; i<=s; i++)
#define DREP(i,e,s) for(register int i=e; i>=s; i--)
#define ll long long
#define DE(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG(a) DE("DEBUG: %d\n",a)
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
int read() {
int x=0,f=1,ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}

const int MAXN=50000+10;

int c[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];

double calc(int i,int j) {
int yi=f[i]+b[i]*b[i],yj=f[j]+b[j]*b[j];
return 1.0*(yi-yj)/(b[i]-b[j]);
}

signed main() {
int n=read(),L=read()+1,l=1,r=1;
REP(i,1,n) c[i]=read()+c[i-1];
REP(i,0,n) a[i]=c[i]+i;
REP(i,0,n) b[i]=a[i]+L;

REP(i,1,n) {
while(l<r&&calc(q[l],q[l+1])<2*a[i]) l++;
f[i]=f[q[l]]+(a[i]-b[q[l]])*(a[i]-b[q[l]]);
while(l<r&&calc(i,q[r-1])<calc(q[r-1],q[r])) r--;
q[++r]=i;
}

printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}

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