【HNOI2008】玩具装箱 题解
HNOI2008
Tham题目的难度跨度真大。
核心思路
首先有一个很显然的dp，设dpi为前i个的最小花费
dpi=j=0mini−1{dpj+(i−j−1+sumi−sumj−L)2}
斜率优化的套路就是把含i、j的分离开来，为了更加方便：
ai=sumi+i , bi=sumi+i+L+1
方程转化为：
dpidpi=j=0mini−1[(ai−bj)2+dpj]=(ai−bj)2+dpj
2×aibj+dpi−ai2=dpj+bj2
再将这个式子看做一个一次函数，ai是已知的
k=2ai,x=bj,y=dpj+bj2
y=kx+dpi−ai2
dpi=y−kx+ai2
任务是要找到dpi的最小值
数形结合可以理解为，上述直线过点(bj,dpj+bj2)，直线在y轴截距增加ai2。
最优解即在这些点的下凸包上。
用单调队列维护一下就可以求出下凸包。边求边统计答案。
## 完整代码
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| #include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
#define int ll
#define REP(i,e,s) for(register int i=e; i<=s; i++)
#define DREP(i,e,s) for(register int i=e; i>=s; i--)
#define ll long long
#define DE(...) fprintf(stderr,__VA_ARGS__)
#define DEBUG(a) DE("DEBUG: %d\n",a)
#define file(a) freopen(a".in","r",stdin);freopen(a".out","w",stdout)
int read() {
int x=0,f=1,ch=getchar();
while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int MAXN=50000+10;
int c[MAXN],f[MAXN],q[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
double calc(int i,int j) {
int yi=f[i]+b[i]*b[i],yj=f[j]+b[j]*b[j];
return 1.0*(yi-yj)/(b[i]-b[j]);
}
signed main() {
int n=read(),L=read()+1,l=1,r=1;
REP(i,1,n) c[i]=read()+c[i-1];
REP(i,0,n) a[i]=c[i]+i;
REP(i,0,n) b[i]=a[i]+L;
REP(i,1,n) {
while(l<r&&calc(q[l],q[l+1])<2*a[i]) l++;
f[i]=f[q[l]]+(a[i]-b[q[l]])*(a[i]-b[q[l]]);
while(l<r&&calc(i,q[r-1])<calc(q[r-1],q[r])) r--;
q[++r]=i;
}
printf("%lld\n",f[n]);
return 0;
}
|
